【無料プリント】中3数学 証明問題ドリル 全5問｜式による証明・円周角と相似・直角三角形の相似・平行四辺形・中点連結（解答例つき・全6ページ・PDF）

中学3年数学の、証明問題ドリルです。式による証明・円周角と相似・直角三角形の相似・平行四辺形になる条件・中点連結の5問（各20点・100点満点）に、解答例と減点ポイントをつけた6ページを、画像と印刷用のPDF（A4）にしました。

証明は、思いついたことを書く問題ではありません。「△○○○ と △△△△ において、」と書き出し、等しいことを1つずつ根拠といっしょに書き、最後に条件の名前で締める。この型が決まっているので、練習した分だけ書けるようになります。

出てくる問題

1. 式による証明：連続する2つの奇数で、大きいほうの平方から小さいほうの平方をひいた差が8の倍数になることを、「nを整数とすると」から書き始めて証明する
2. 円周角の定理と相似：円周上に4点A、B、C、Dがこの順にあり、弦ACと弦BDの交点をPとするとき、△PAB ∽ △PDC を証明する
3. 直角三角形の相似：∠A＝90°の直角三角形ABCで、頂点Aから辺BCにひいた垂線の足をHとするとき、△ABC ∽ △HBA と、それを使って AB²＝BH×BC を証明する
4. 平行四辺形になる条件：平行四辺形ABCDの辺BC上に点E、辺AD上に点Fを BE＝DF となるようにとるとき、四角形AECFが平行四辺形になることを証明する
5. 相似比と中点連結：△ABCの辺AB、ACの中点をM、Nとするとき、相似を使って MN∥BC かつ MN＝½BC を証明する

中身（6ページ）

使い方

1. 1〜3ページの証明の枠に、答案を書きます。図形の問題は、まず「△○○○ と △△△△ において、」から書き出します。
2. 問3の(2)で手が止まったら、2ページ目のヒントを読みます。(1)で書いた相似の式の並び順で、どの辺とどの辺が対応しているかを確かめます。
3. 4〜6ページの解答例と見比べて、根拠が1つずつ書けているか、最後に条件の名前を書いたかを確かめます。
4. 減点ポイントに書いてあることをしていたら、その問題だけ書き直します。

つまずきやすいところ

• nが整数であることを書いていない：「奇数を2n＋1とおく」だけでは不十分です。最後も「8×（整数）の形になった」と言い切ります。
• どの弧に対する円周角かを書いていない：問2は、弧BCに対する円周角でも、弧ADに対する円周角でも証明できます。どちらを使ったかを必ず書きます。
• 平行だけ、長さだけで終わる：問4は、AF∥EC と AF＝EC の両方がそろって、はじめて「1組の対辺が平行でその長さが等しい」と言えます。
• 「相似だから平行」と書く：問5は、相似な図形の対応する角が等しいことから ∠AMN＝∠ABC を出し、同位角が等しいから平行、と一手ずつ書きます。

よくある質問

図形の証明は、どう書き出せばいいですか？

「△○○○ と △△△△ において、」から始めます。対応する頂点の順に並べて書くと、それがそのまま辺の比の順になります。

根拠は、どこまで書く必要がありますか？

等しいことを書くたびに、「仮定より」「共通だから」「対頂角は等しいから」「弧○○に対する円周角は等しいから」のように根拠を書きます。等式だけを並べた答案は、大きく減点されます。

証明の最後には、何を書けばいいですか？

結論の直前に、条件の名前を書きます。「2組の角がそれぞれ等しいから」「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから」「1組の対辺が平行でその長さが等しいから」のような書き方です。

問3の AB²＝BH×BC は、何につながりますか？

同じやり方で △ABC ∽ △HAC から AC²＝CH×CB も示せます。2つの式を足すと AB²＋AC²＝BC(BH＋CH)＝BC² となり、三平方の定理の証明そのものになります。

ドリル（6ページ）

画像を押すと、大きく表示されます。

証明で手が止まるときは

「証明は、何から書けばいいのか分からなくて、いつも白紙で出してしまう」というお子さんがいたら、学年と、最近のテストの点をお問い合わせから教えていただければ、書き出しから一緒に練習します。体験授業は無料です。