「証明って、何を書けばいいの？」と聞かれることがあります。
証明が書けない子は、そもそも証明の流れを知らないことが多いです。教科書やワークの模範解答を5個くらい本気で分析すれば、何を書いているかが分かります。
証明は、型にはめるだけです。
このことは、定期テストは取れるのに模試で取れないでも少し書きました。この記事では、何をどう書けば点になるのかを、もう一歩くわしくお話しします。全国の中学3年生の結果と、公式の採点の基準、証明を習い始めた中学2年生の授業の研究を紹介して、そのうえで、うちでの証明の教え方をまとめます。
全国の中学3年生で、合同の証明を書けたのは46.6%
2026年4月の全国学力・学習状況調査（中学3年生）の数学に、三角形の合同を使って証明する問題が出ました。作図でできた図について、「AB＝AP、OB＝OP ならば ∠AOB＝∠AOP」であることを、三角形の合同を使って証明する問題です。
正しい証明は、AB＝AP、OB＝OP、共通な辺 OA＝OA の3つを、それぞれの根拠とともに書き、「3組の辺がそれぞれ等しいから △AOB≡△AOP」とまとめるものです。
正答は46.6%で、そのうち、根拠まできちんと書けていたのは37.0%でした。何も書かなかった生徒が21.9%、等しい辺を2組だけ書いて止まった生徒が6.6%いました。
そして7.0%の生徒は、証明したい結論の「∠AOB＝∠AOP」を、証明の根拠として使っていました。証明したいことを、はじめから正しいものとして使ってしまっているのです。
報告書は、この問題について「筋道を立てて考え、証明することに課題がある」とまとめ、結論を根拠として使ってはいけないことを確かめる場面を授業でつくることも勧めています。
採点で見られること
では、証明は、どこを見て採点されるのでしょうか。
全国学力・学習状況調査のこの問題の正答の条件は、「AB＝AP」「OB＝OP」「OA＝OA」「△AOB≡△AOP」の4つを、それぞれの根拠とともに書いて、証明していることでした。
東京都の公立高校入試（2019年度）の「採点のポイント」では、証明の問題について、こう書かれています。
部分点の基準は、各学校が決めます。例として「誤字が一つ以上ある。（１点減点）」のような基準を加えてよい、とも書かれています。
つまり、採点で見られるのは、根拠をはっきり書いて、仮定から結論まで筋道が通っているかです。
また、合同条件の、辺と角の位置（「その間の角」なのか「両端の角」なのか）についての理解が十分でない答えも、国立教育政策研究所の解説資料（平成24年度）で、まちがいの例として挙げられています。
研究：証明を習い始めた中学2年生は、「組み立て」でつまずく
証明が書けない子は、何が分かっていないのでしょうか。
信州大学の宮崎樹夫、エクセター大学の藤田太郎、サウサンプトン大学のジョーンズは、日本の中学校の授業を記録して、生徒が証明の「組み立て」をどう分かっていくかを調べました（2017年）。
・授業では、仮定から結論までのつながりを矢印で結んだ「流れ図」の形で証明を書き、そのあと、文章の証明に書き直しました
・数で比べた実験ではなく、授業の中の生徒の発言や書いたものを、1つずつ読み解いた研究です
証明の「組み立て」の分かり方には、段階がある
著者は、証明の組み立ての分かり方を、次のような段階に分けています。
2 証明の部品（仮定・結論・根拠になる決まり）に、目が向き始める
3 部品のつながりが分かってくる。つながりには2種類あります
ア：合同条件のような決まりを、目の前の図の三角形に当てはめること
イ：仮定から結論まで、1歩ずつつないでいくこと
4 証明の全体が見えて、自分で証明を組み立てられる
著者は、3のアとイは別々の力で、片方だけが分かっている生徒もいる、としています。
授業で見られたこと
・3組の辺が等しいという合同条件を使うと決めたのに、どの辺とどの辺を選べばいいかが分からない生徒がいました。先生が「この図で、3組の辺が等しいという条件を使うには、どの辺を選べばいいか」と聞くと、「わかった」と言って書き進めました。
・2つの三角形が合同なことから角が等しいことを示す証明で、等しい辺は正しく書けたのに、「合同な三角形では、対応する角は等しい」という決まりを書けず、「合同だから」とだけ書いた生徒がいました。
・黒板に並べた5人の証明のうち2つは、証明したい結論（2つの角が等しいこと）を、はじめから仮定として使っていました。クラスメートが「それは答えだから、証明に使ったら意味がない」と指摘しても、書いた生徒は「使っていい」と考えを変えませんでした。
著者は、結論を仮定に使った証明を受け入れてしまうのは、3のイ（仮定から結論まで1歩ずつつなぐこと）が分かっていないしるしだ、と見ています。そして、何が仮定で何を証明するのかを伝えたあとでも、生徒はこうした証明を受け入れ続けるかもしれない、とも書いています。
全国学力・学習状況調査で、結論を根拠に使った7.0%の生徒も、同じところでつまずいているのかもしれません。
・流れ図で教えると証明の点が上がるかは、この研究では調べていません。
・全国学力・学習状況調査の数字は、2026年4月の中学3年生の、1つの問題の結果です。最後の段落の「同じところでつまずいているのかもしれない」は、私の読み方です。
うちでやっていること
・型にはめる。どの三角形か → 等しい辺や角を、根拠をつけて3つ → 合同条件 → 結論
・根拠や記号を書き忘れない。合同条件の「その間の角」と「両端の角」を取り違えない
模範解答を5個、本気で分析する
証明が書けない子は、そもそも証明の流れを知らないことが多いです。模範解答を5個くらい本気で分析すれば、何を書いているかが分かります。
分析するときは、どの行が根拠かに、印をつけながら読みます。どの三角形の話か、等しいと言っている辺や角はどれか、その根拠は何か、どの合同条件を使ったか、最後に何を言ったか。1行ずつ確かめます。
証明の手本にじっくり取り組んだクラスの研究は、定期テストは取れるのに模試で取れないで紹介しました。
証明は、型にはめるだけ
たとえば、AC と BD が点 O で交わっていて、AO＝CO、BO＝DO のとき、△AOB≡△COD を証明します。
型はこうです。
どの三角形か。等しい辺や角を、根拠をつけて3つ。合同条件。最後に結論。この順番を守って書きます。
採点で見られる所を、外さない
採点で見られるのは、根拠をはっきり書いて、仮定から結論まで筋道が通っているかです。
根拠や記号（△・∠・≡）を書き忘れたり、合同条件の「その間の角」と「両端の角」を取り違えたりしないように気をつけます。上の例なら、等しい角 ∠AOB と ∠COD は、等しい2組の辺 AO・BO と CO・DO の「間の角」なので、「2組の辺とその間の角」が使えます。
証明になると手が止まるときは
「証明になると、何を書けばいいか分からない」「模範解答を写しても、自分では書けない」というお子さんがいたら、学年と教科をお問い合わせから教えていただければ、うちでのやり方をお伝えします。
参考文献
- 国立教育政策研究所 (2026).『令和8年度 全国学力・学習状況調査 報告書 中学校 数学』.（本文）
- 国立教育政策研究所 (2012).『平成24年度 全国学力・学習状況調査 解説資料 中学校 数学』.（本文）
- 東京都教育委員会「数学 採点のポイント（31 一次・分割前期）」.（本文）
- Miyazaki, M., Fujita, T., & Jones, K. (2017). Students' understanding of the structure of deductive proof. Educational Studies in Mathematics, 94, 223–239.（本文）
お子さまの成績アップ、一緒に目指しませんか？
無料相談はこちら