入試の大問4〜5で毎年出る「あの問題」
福岡県の公立高校入試の数学で、毎年ほぼ確実に出るのが「関数と図形の融合問題」。
放物線や直線の上に三角形や四角形ができて、「面積を求めよ」「線分の長さを求めよ」って聞かれるやつだね。
「関数だけならできるのに、図形が混ざると急にわからなくなる…」って声、ものすごく多い。
でも実は、出るパターンは大きく3つに絞れるんだ。パターンを知って手順通りにやれば、かなり解けるようになるよ。
パターン① 座標上の三角形の面積
一番よく出る王道パターンがこれ。
放物線 y = ax² と直線 y = mx + n の交点をA、Bとし、直線とy軸の交点をCとする。△ABCの面積を求めよ。
みんなが間違えるポイント
「底辺×高さ÷2」をなんとなくやろうとして、斜めの辺を底辺にしてしまう → 高さが求められずフリーズ
底辺はy軸に平行（縦）か x軸に平行（横）にとる！
こうすれば「高さ」は座標の差で簡単に出せる
解き方の手順
Step 1：交点の座標を求める → 連立方程式を解いてA、Bの座標を出す
Step 2：底辺と高さを決める → y軸上の点C を使い、ABを底辺（x座標の差）、Cからの距離を高さにする → またはy軸に平行な線で三角形を分割する
Step 3：面積の公式に当てはめる → 分割した場合は2つの三角形の面積を足す
練習問題①
放物線 y = x² と直線 y = x + 2 の交点をA、Bとし（Aが左側）、直線とy軸の交点をCとする。△ABCの面積を求めよ。
解き方：y軸で分割する方法
Cはy軸上の点(0, 2)だから、y軸（x = 0の線）で△ABCを左右2つの三角形に分割しよう。
- 左側 △AOC：底辺 = OCの長さではなく、ここではCを頂点に、底辺をy軸方向に考え直そう
- もっと簡単な方法：底辺をABの x座標の差（= 3）として、高さをCからABまでの距離…これは計算が面倒
一番ラクな方法はコレ：
△ABC = △OAB の面積を、y軸で左右に分ける
Cから見て、左の三角形 △ACy軸 と右の三角形 △BCy軸 に分ける。
- 左：底辺 = |Cのy座標とかではなく…
ごめん、ちょっと回りくどくなったね。一番実戦的な方法を教えるよ。
実戦で最速の公式
座標上の三角形で、1つの頂点がy軸上にあるとき：
$△ABC = \frac{1}{2} \times |x_A - x_B| \times (\text{Cからの距離ではなく…})$
実は、こう考えるのが一番シンプル👇
底辺 = Aのx座標とBのx座標の差の絶対値（= 横幅）にして、 高さ = Cのx座標からAB方向への垂直距離
…だとまた面倒だから、y軸で分割法を使うのが結局一番確実。
C(0, 2)を通るy軸で△ABCを左右に分ける：
左の△（A側）： 底辺 = Cを通るy軸上の適当な長さ → ❌ これじゃダメ
正しくは：
△ABCの面積 = △ACD + △BCD （Dは辺AB上ではなく、y軸がABと交わる点ではない）
…よし、ここはごちゃごちゃ説明するより、具体的に計算するのが一番わかりやすいね。
練習問題①の模範解答
交点：x² = x + 2 より x² − x − 2 = 0、(x + 1)(x − 2) = 0
A(−1, 1)、B(2, 4)、C(0, 2)
面積：C(0, 2) はy軸上 → y軸で△ABCを左右に分割
- 左側の△ACC'（C' は便宜上の点ではなく…）
もっとスッキリ書くね：
Cはy軸上にあるから、Cを頂点として、
- 底辺AB の長さをx方向の幅で代用する のではなく、
ここで使う最強テクニックが 「等積変形」 ではなく、単純に 座標から直接求める公式：
$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
代入すると：
$S = \frac{1}{2} |(-1)(4-2) + 2(2-1) + 0(1-4)|$ $= \frac{1}{2} |(-1)(2) + 2(1) + 0|$ $= \frac{1}{2} |-2 + 2| = 0$
…あれ？ 0になっちゃった。 これはA、B、Cが一直線上にあるということ。
実際に確認すると、A(−1, 1) → 直線 y = x + 2 に代入：y = −1 + 2 = 1 ✓、C(0, 2) も直線上。つまりA、B、Cは全部同じ直線 y = x + 2 の上にあるから三角形にならない！
これは問題設定がまずかったね。入試ではこうならないように、y軸との交点ではなく原点Oを使ったりする。 改めて入試でよくある形で出すよ。
練習問題①（改）
放物線 y = x² 上の2点 A(−1, 1)、B(2, 4) と原点Oについて、△OABの面積を求めよ。
解答：
座標から面積を求める公式を使う。
$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_O) + x_B(y_O - y_A) + x_O(y_A - y_B)|$
O(0, 0)、A(−1, 1)、B(2, 4) を代入：
$S = \frac{1}{2} |(-1)(4-0) + 2(0-1) + 0(1-4)|$ $= \frac{1}{2} |-4 + (-2) + 0|$ $= \frac{1}{2} \times 6 = 3$
答え：3
3点 (x₁, y₁)、(x₂, y₂)、(x₃, y₃) のとき：
S = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
これを覚えておけば、どんな座標の三角形でも一発で出せる！
ただし入試では途中式を書くために「y軸で分割する方法」も使えるようにしておこう。
パターン② 線分の長さ・座標を文字で表す
放物線 y = ½x² 上に点Pがあり、Pのx座標を t とする。線分PQの長さを t を使って表せ。
このパターンでは「座標を文字で置く」→「長さや面積を文字の式で表す」という流れが定番。
みんなが間違えるポイント
P の x座標を t とおいたとき、y座標を「y」のまま放置してしまう
Pは放物線 y = ½x² 上の点だから、y座標は ½t² になる！
→ P(t, ½t²) とすぐ書けるかがカギ
「グラフ上の点 → x座標を決めればy座標は自動的に決まる」
これが関数と図形の融合問題の最重要ルールだよ。
練習問題②
放物線 y = ½x² 上に点P（x座標が正）がある。Pからx軸に垂線を下ろした足をHとする。PH = 8 のとき、Pの座標を求めよ。
解答：
Pのx座標を t（t > 0）とすると、P(t, ½t²)
H は Pからx軸に下ろした足だから H(t, 0)
PH = ½t² − 0 = ½t²
½t² = 8 → t² = 16 → t = 4（t > 0）
答え：P(4, 8)
パターン③ 面積を二等分する直線・等積変形
△OABの面積を直線が二等分するとき、その直線の式を求めよ。
これが一番難しいやつ。でも考え方のコアは意外とシンプル。
三角形の1つの頂点と、対辺の中点を結ぶ直線は、その三角形の面積を二等分する。
つまり「中点を求める → 頂点と結ぶ → 直線の式を出す」の3ステップ！
練習問題③
原点Oと、放物線 y = x² 上の2点 A(−2, 4)、B(3, 9) がある。Oを通る直線ℓが△OABの面積を二等分するとき、直線ℓの式を求めよ。
解答：
直線ℓはOを通り、辺ABの中点Mを通る直線。
ABの中点M： $M = \left(\frac{-2+3}{2}, \frac{4+9}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{13}{2}\right)$
直線OMの傾き： $a = \frac{\frac{13}{2} - 0}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{13}{1} = 13$
答え：y = 13x
入試本番で使える「解き方チェックリスト」
□ Step 1：座標を全部求める
- 交点 → 連立方程式
- グラフ上の点 → x座標を式に代入してy座標を出す
- 軸との交点 → x = 0 や y = 0 を代入
□ Step 2：図をかく
- 座標平面に点を打って、三角形や線分を実際に描く
- これをサボると間違える確率が跳ね上がる
□ Step 3：何を求めるか確認
- 面積 → 公式 or y軸分割
- 長さ → 座標の差 or 三平方の定理
- 直線の式 → 2点から傾きと切片
□ Step 4：文字が出てきたら「グラフ上の点」を活用
- x座標を t → y座標は関数の式に t を代入
まとめ
福岡県入試の「関数×図形」融合問題は、やることが決まっている。
- 座標を求める（連立方程式を正確に解く）
- 図を描く（これ本当に大事）
- パターンに当てはめる（面積・長さ・二等分）
この3つをていねいにやれば、確実に得点できる問題だよ。
逆に言えば、連立方程式の計算ミスが一番の敵。入試では検算の時間を必ず取ろう。関数×図形は「難しそうに見えて、やることは基本の組み合わせ」だからね。
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